В детстве Алексей увлекался футболом и занимался в пензенском «Локомотиве». С 8 лет занимался в театральной студии, где оказался на первых ролях.

- в 1993 году окончил среднюю школу № 70 города Пензы,
- после неудачного поступления в Москве на актёрские вузы, он прошёл по специальности организация массовых мероприятий и режиссёр любительского театра в Училище Культуры и искусств в Пензе,
- в 1997 году поступил на театральный факультет Саратовской консерватории (курс А. Г. Галко).

В 2001—2002 годах, по окончании вуза, играл в Русском драматическом театре Башкирии (Уфа). Там ему удалось сыграть за один сезон три большие роли и завоевать зрительские симпатии. Организовывал и ставил капустники и творческие встречи.

В 2002 году уехал в Москву, где ему удалось быстро закрепиться на канале ТНТ. С сентября 2002 по июль 2003 года был редактором ток-шоу «Окна», в том же году вёл реалити-шоу «Дом» вместе с Николаем Басковым и Светланой Хоркиной был прорабом. В 2004 году возглавлял коллектив Надежды Бабкиной «Русская песня».

Популярность пришла к Алексею после шоу-игры «Такси», где «голосующих» пассажиров довозят до нужного им места бесплатно и дают им возможность заработать, отвечая на различные вопросы.

С 20 августа 2010 г. Алексей ведет программу «Лаборатория чувств» на канале МУЗ-ТВ.

С 19-го марта 2012 года на телевизионном канале «Перец» состоялась премьера телевизионного шоу «Обмен бытовой техники», которую ведёт Алексей.

Во время учёбы работал педагогом-организатором во Дворце детского и юношеского творчества, взял Гран-при на российском фестивале театральных коллективов с молодёжной труппой «Бригада-А», где выступил режиссёром. Являлся организатором различных концертов в области и на выезде.

жена Лацына и сыновья — Яромир и Гордей

4 октября 2012 г. в студии «Пусть говорят» пытались понять, как получилось, что известный телеведущий Алексей Куличков отказался от отца.

Мы разные (2011)
Десантура (ТВ, 2009)
Самый лучший фильм 2 (2009)
След (сериал, 2007 – ...)
Нас не догонишь (2007)
Моя прекрасная няня (сериал, 2004 – 2008)
Адвокат (сериал, 2004 – ...)

Роли в Русском драматическом театре Башкирии (2001—2002)
«Бегущие странники» Н. В. Казанцев — Дима
«Без вины виноватые» А. Н. Островский — Незнамов
«Годы странствий» А. Н. Арбузов — А. Ведерников

В 2014 году Алексей Куличков (совместно с Сергеем Шевченко) дебютировал как драматург и как режиссер, поставив и сыграв в своем спектакле «9 месяцев/ 40 недель».