Дебют Алексея на взрослом уровне перед пензенцами пришелся на самые удачные годы Пензенского хоккея, "Дизелист" тогда играл в Суперлиге с 1996-1998 г. Провел за пензенский "Дизелист" 4 сезона с 1996 - 2000 г., забросил 4 шайбы.

Выступал за клубы :
Дизелист, Молот-Прикамье, Химик, Нефтяник (Альметьевск), Ак Барс, ЦСКА.

Выступал за команды КХЛ:
2008-2010 Торпедо (Нижний Новгород)
2010-2012 Металлург (Новокузнецк)
2012 Амур (Хабаровск)
2013 - Н.В. Металлург (Новокузнецк)

После своего ухода (ноябрь 2012 г.) из хабаровского "Амура" дал громкое интервью в прессе о финском наставнике Ханну Йортикке. Обвинив его в русофобии.
Позже наставника уволили за неудовлетворительные результаты.

В Январе 2013 Алексей перешел в клуб «Сарыарка» (ВХЛ)
Летом 2013 г. вернулся в новокузнецкий "Металлург"
Летом 2014 г. заключил новый контракт сроком на 1 год с командой Металлург (Новокузнецк)
в 2015 г. вернулся в родную Пензу и заключил контракт с ХК "Дизель"(Пенза)

Чемпион России 2006 г.
Серебряный призер Чемпионата ВХЛ 2013 г.

жена - Елена Косоурова, дочь

Отец Александр Косоуров - хоккеист, игрок ХК "Дизелист", президент областной федерации хоккея

Имеет машину Mercedes 1935 г. выпуска