В 4 года пришел в хоккей , в команду «Дизель». Первым тренером преподавателем был Вячеслав Максимов.

В 2010г. Клим Костин перешел в команду Ак Барс г. Казань

Был выбран под первым номером на импорт-драфте CHL (канадской юниорской лиги) в 2016 г.

Выступал за команды:

2007 - 2010 Дизель 1999 г.р. (Пенза), Дизель 1998 г.р. (Пенза), Дизель 1996 г.р.
2010 - 2011 Ак Барс 1999 г.р. (Казань)
2011 - 2015 Динамо 1999 г.р. (Москва)
2015 - 2016 ХК МВД(Балашиха), МХЛ
2016 Динамо(Москва), КХЛ

Сборная России:
2014 - 2016 Юниоры 1999 г.р., Юниоры 1998 г.р.

В мае 2016 г. подписал первый профессиональный контракт - с ХК "Динамо" (Москва)

Выбран на драфте НХЛ в 2017 г. командой Сент-Луис Блюз под общим 31-м номером в 1 раунде.

С детства болеет за команду НХЛ "Тампа-Бэй"